定积分存在性的两道题① 对于分段函数f(x)=sin(1/x),x≠0；f(x)=0,x=0.书上说该函数是有界函数所以

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 02:04:09

定积分存在性的两道题
① 对于分段函数f(x)=sin(1/x),x≠0；f(x)=0,x=0.书上说该函数是有界函数所以在闭区间[-2,2]存在定积分,可是仔细想想当x->0时sin(1/x)虽然有界但在这个无限趋于零的过程中你并不能真正确定这个值,既然没有一个定值何来定积分呢?
② 对分段函数f(x)=d[xsin(1/x)]/dx,x≠0；f(x)=0,x=0.书上说由于f(x),x≠0是发散的,所以不存在定积分,可是我觉得F(x)=xsin(1/x)在x->0时的极限为0那么在求定积分的时候F(2)-F(0)是存在的呗?

定积分存在性的两个结论：
f(x)在[a,b]上可积,则f(x)在[a,b]上有界.
f(x)在[a,b]上连续(或有界且只有有限个间断点),则f(x)在[a,b]上可积.
第一题满足结论2,f(x)在[-2,2]上有界|f(x)|≤1,只有一个间断点0,所以f(x)在[-2,2]上可积.
第二题满足结论1的逆否命题：无界则不可积.x≠0时,f(x)=sin(1/x)-1/x*cos(1/x),在0点附近无界.
这个两个可积的问题都不是通过用公式计算定积分来判断的,而是用定积分的定义,或者说用极限的基本理论.如果你不是数学系的,只要掌握几个结论并会使用即可.

分段函数定积分问题f(X)={ sinX (0 求分段函数定积分?分段函数：f（x)=2x (0 用mathematica如何算分段函数定积分?比如我想算f(x）=0（x=0）,f（x)=1/x+[1/x],（0> 已知函数f(x)=分段函数：-x+1,x 已知函数f(x)=|x-1| (1)用分段函数的形式表示该函数判断分段函数f(x)=x(1-x),x 设f(x)={x分段函数如何画出分段函数f(x)=2^x-1,x≤0;f(x)=f(x+1),x 分段函数f(x)=sinx (x>=0时);f(x)=x^2(x x-2 ,X>=0 f(x)=f[f(x+5)],x分段函数f(x)= x-2 ,X>=0 f[f(x+5)],x 分段函数f(x)=x•2^x (x>=0) x^(-2) (x 已知函数f(x)=(1-|x|)(x+2),用分段函数形式表示该函数,画出该函数图像