m*n矩阵A的秩为r,为什么n元齐次线性方程组Ax=0的无关解向量个数=n-r.但是,r不是向量组的极大无关向量么

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/13 07:30:39

观念上是这样:
A中的向量是条件,有r个有效条件.
x是解向量,本来有n个维度,被条件限制住r个维度.
所以剩下n-r个维度.
再问：我不理解的地方是，r不是已经是向量组的极大无关解了，也就是说无关解的个数是r，但是为什么又说AX=0的无关解向量个数=n-r 我感觉我哪儿理解出错了，但是又不知道是哪儿
再答： r不是"解"! 而是极大无关"条件". 以实例来看: A = [ 1 2 3 ] [ 2 4 6 ] [ 3 6 9 ] x= [ x1 ] [ x2 ] [ x3 ] 展开是 x1 + 2 x2 + 3 x3 =0; 2 x1 + 4 x2 + 6 x3 =0; 3 x1 + 6 x2 + 9 x3 =0 条件似乎有三条, 但r=1, 只有一条有效. 解空间有3-r=2个维度, 就是有两个极大无关解.
再问：是不是这样理解，r说的是关于A的秩，是关于A的无关向量解。求的是关于x的无关向量解的个数
再答： Note1: 方程式中, 整个A都是在描写对未知向量x的限制条件. 所谓Ax=0的无关解向量个数=n-r, 是说 dim{ x | Ax=o } = n-r. { x | Ax=o }称为原方程式的解空间(solution space). Note2 : A是一个固定的矩阵, 没有所谓"A的无关行向量解"这种说法. Note3: 若拿A的row(横向量)当基础, 可以展出另一个向量空间, 称为A的row space. 这个空间的维度是r, 也就是其中可以取出r个极大无关向量. 但这个row space与方程式的解空间是两回事.

秩r=极大线性无关组中向量的个数,基础解系本身又是一个极大线性无关组,但其所含向量个数为n-r,那极大… m×n矩阵的秩为r,a1,a2,……,a（n－r＋1）是非齐次线性方程组AX＝B的n－r＋1个线性无关的解向量,证明：a 设m×n矩阵A的秩r(A)=n-3(n>3),α,β,γ是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量,则方程组Ax=0 关于线性代数的设m*n矩阵A的秩r(A)=n-3(n>3),α.β.γ是齐次线性方程组AX=0的三个线性无关的解向量,则老师您好,我们知道基础解系中解向量的个数为n-R(A),极大线性无关组中的向量个数为R(A), 向量组证明问题设A,B分别为m*r,r*n阶矩阵,且AB=0,求证(1)B的各列向量是齐次线性方程组AX=0的解(2)若设有齐次线性方程组AX=0,其中A为m*n矩阵,X为n维列向量,R（A）=r,则方程组AX=0的基础解系中有几个向量,当为什么r(A)=1,所以方程组AX=0的基础解系含n-r(A)个线性无关的解向量? 若矩阵A的秩r(A)=n,则矩阵A存在n个线性无关的行向量.为什么? 刘老师,A是m行n列矩阵,r（A）=m,那么它的行向量组线性无关,为什么啊 A为m×n阶矩阵,B为n×k阶矩阵,c=AB为m×k阶矩阵,若r(A)=n,r(B)=k,证明:c的列向量线性无关 B是由n个n维线性无关的向量构成的向量组,A是n阶矩阵,那么r (AB) 一定等于 r(A)吗