作业帮（2012•蓝山县模拟）某学校餐厅为了保证每天供应1000名学生用餐，每星期一都提供有A、B两种菜可供学生选择（每个学生
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：综合作业 时间：2024/05/06 20:43:02
（2012•蓝山县模拟）某学校餐厅为了保证每天供应1000名学生用餐，每星期一都提供有A、B两种菜可供学生选择（每个学生都将从二种中选一种），经调查，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A．用an、bn分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数（a1、b1表示本周星期一选A菜人数），若a1=200．
（1）试以an表示an+1；
（2）证明：{an}的通项公式是a
（1）试以an表示an+1；
（2）证明：{an}的通项公式是a
（1）由题可知，∵在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A，
∴an+1=an•（1-0.2）+0.3•bn，
又an+bn=1000，所以整理得：an+1＝
1
2an+300…（4分）
（2）证明：∵a1=200，且an+1＝
1
2an+300
∴an+1−600＝
1
2(an−600)
即{an-600}可以看成是首项为-400，公比为
1
2的等比数列．
∴an＝(−400)•(
1
2)n−1+600…（9分）
（3）由an+bn=1000，an＞bn得an＞500
又an＝(−400)•(
1
2)n−1+600，∴(
1
2)n−1＜
1
4，即 n＞3
答：从第4个星期一开始，选A人数超过选B人数．…（13分）
∴an+1=an•（1-0.2）+0.3•bn，
又an+bn=1000，所以整理得：an+1＝
1
2an+300…（4分）
（2）证明：∵a1=200，且an+1＝
1
2an+300
∴an+1−600＝
1
2(an−600)
即{an-600}可以看成是首项为-400，公比为
1
2的等比数列．
∴an＝(−400)•(
1
2)n−1+600…（9分）
（3）由an+bn=1000，an＞bn得an＞500
又an＝(−400)•(
1
2)n−1+600，∴(
1
2)n−1＜
1
4，即 n＞3
答：从第4个星期一开始，选A人数超过选B人数．…（13分）
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