已知函数F(X)是定义在[-2,2]上的奇函数,当x属于[-2,+)时,f(x)=tx-1/2*x^3(t为常数)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 06:35:26

已知函数F(X)是定义在[-2,2]上的奇函数,当x属于[-2,+)时,f(x)=tx-1/2*x^3(t为常数)
（1）求函数f(x)的解析式
（2）当t属于[2,6]时,求在[-2,0]上的最小值以及取得最小值时的x值
（3）当t>=9时,证明函数y=f(x)的图象至少有一个点落在直线y=14上.
题目有个地方打错了,当x属于[-2,+)时改成当x属于[-2,0)时
可以只先解决第一小问，主要是第一小问做不出来，所以后面做不来…

x∈[-2,0)时,f(x)=tx-1/2*x^3
记k=-x,则：k∈(0,2],-k∈[-2,0)
F(X)是定义在[-2,2]上的奇函数,则：f(k)=-f(-k)=-(t(-k)-1/2*(-k)^3)=(tk-1/2*k^3)
则：x∈(0,2]时,也有：f(x)=tx-1/2*x^3(t为常数)；F(0)=0成立.
故函数f(x)的解析式为：f(x)=tx-1/2*x^3 x∈[-2,2]；
一阶导数f’(x)=t-3x^2/2
x∈[-2,2],则：t-6≤f’(x)≤t
而t∈[2,6],则：f(x)在定义域[-2,2]内为先递减后递增；
令f’(x)=t-3x^2/2=0得：x=±√(6t)/3,此为f(x)的极值点.
f(√(6t)/3)=t√(6t)/3-1/2*(√(6t)/3)^3=2t√(6t)/9>0
f(-√(6t)/3)= -f(√(6t)/3)=- 2t√(6t)/90恒成立；
所以f(x)在定义域[-2,2]内为单调递增函数,在x=-2取得最小值,在x=2取得最大值.
Min[f(x)]=f(-2)=4-2t≤-14

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