作业帮因式分解 (27 14:6:22)
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 14:34:00
因式分解 (27 14:6:22)
1.（1）求证258-514能被24整除；
（2）证明：当n为大于2的整数时,n5-5n3+4n能被120整除
2.已知a+b+c=0,求证a3+a2c+b2c-abc+b3=0
3.两个正整数之和比积小1000,且其中一个是完全平方数,试求较大的数
4.分解因式：x6-y6-2x3+1
1.（1）求证258-514能被24整除；
（2）证明：当n为大于2的整数时,n5-5n3+4n能被120整除
2.已知a+b+c=0,求证a3+a2c+b2c-abc+b3=0
3.两个正整数之和比积小1000,且其中一个是完全平方数,试求较大的数
4.分解因式：x6-y6-2x3+1
1.（1）求证258-514能被24整除；
是25^8-5^14么 (^8是8次方,^14是14次方)
25^8-5^14
=(5²)^8-5^14
=5^16-5^14
=5^14×(5²-1)
=5^14×24
故25^8-5^14能被24整除
（2）证明：当n为大于2的整数时,n5-5n3+4n能被120整除
n5-5n3+4n
=n(n^4-5n²+4)
=n(n²-1)(n²-4)
=n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)
当n为大于2的整数时,n5-5n3+4n=n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)是5个连续正整数的积能被120整除
2.已知a+b+c=0,求证a3+a2c+b2c-abc+b3=0
a3+a2c+b2c-abc+b3
=(a³+b³)+(a²c+b²c-abc)
=(a+b)(a²-ab+b²)+c(a²-ab+b²)
=(a+b+c)(a²-ab+b²)
因为a+b+c=0
所以a3+a2c+b2c-abc+b3=(a+b+c)(a²-ab+b²)=0
3.两个正整数之和比积小1000,且其中一个是完全平方数,试求较大的数
设两个正整数x,y,x≥y
根据题意,x+y=xy-1000
xy-x-y+1=1001
(x-1)(y-1)=1001
因为x,y是正整数,所以x-1,y-1为整数,且x-1≥y-1
因为1001=7×11×13
所以 x-1=1001,y-1=1 或x-1=77,y-1=13,或 x-1=143,y-1=7
解得 x=1002,y=2 或 x=78,y=14 或 x=144,y=8
又因为 其中一个是完全平方数
所以只有x=144,y=8 满足条件
较大数 为 144
4.分解因式：x6-y6-2x3+1
原式
=(x6-2x³+1)-y6
=[(x³)²-2x³+1]-y6
=(x³-1)²-(y³)²
=(x³-y³-1)(x³+y³-1)
是25^8-5^14么 (^8是8次方,^14是14次方)
25^8-5^14
=(5²)^8-5^14
=5^16-5^14
=5^14×(5²-1)
=5^14×24
故25^8-5^14能被24整除
（2）证明：当n为大于2的整数时,n5-5n3+4n能被120整除
n5-5n3+4n
=n(n^4-5n²+4)
=n(n²-1)(n²-4)
=n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)
当n为大于2的整数时,n5-5n3+4n=n(n+1)(n-1)(n+2)(n-2)是5个连续正整数的积能被120整除
2.已知a+b+c=0,求证a3+a2c+b2c-abc+b3=0
a3+a2c+b2c-abc+b3
=(a³+b³)+(a²c+b²c-abc)
=(a+b)(a²-ab+b²)+c(a²-ab+b²)
=(a+b+c)(a²-ab+b²)
因为a+b+c=0
所以a3+a2c+b2c-abc+b3=(a+b+c)(a²-ab+b²)=0
3.两个正整数之和比积小1000,且其中一个是完全平方数,试求较大的数
设两个正整数x,y,x≥y
根据题意,x+y=xy-1000
xy-x-y+1=1001
(x-1)(y-1)=1001
因为x,y是正整数,所以x-1,y-1为整数,且x-1≥y-1
因为1001=7×11×13
所以 x-1=1001,y-1=1 或x-1=77,y-1=13,或 x-1=143,y-1=7
解得 x=1002,y=2 或 x=78,y=14 或 x=144,y=8
又因为 其中一个是完全平方数
所以只有x=144,y=8 满足条件
较大数 为 144
4.分解因式：x6-y6-2x3+1
原式
=(x6-2x³+1)-y6
=[(x³)²-2x³+1]-y6
=(x³-1)²-(y³)²
=(x³-y³-1)(x³+y³-1)