多项式(a+b+c+d)^100展开后共有多少不同的项?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/18 10:07:37

(a+b+c+d)^100展开后的每一项的各个变量的幂次之和都要等于100.
因此,多项式(a+b+c+d)^100展开后的不同的项数与方程
x + y + z + w = 100
的不同的非负整数解的个数完全相同.
x + y = n,
因x可以从0变化到n,共有n+1种不同的取值.
对于x的每一种取值,y只能取固定值（n-x）.
因此,x+y=n 一共有n+1组不同的非负整数解.
结论1,x + y = n 的非负整数解的个数为 n+1.
x + y + z = n,
x + (y+z) = n,
因x可以从0变化到n,共有 n+1 种不同的取值,对于x的每一种取值,(y+z)只能取固定值（n-x）.
而根据结论1,y+z=n-x,一共有n-x+1组不同的非负整数解.
因此,x + y + z = n 的不同的非负整数解的个数为,
（n+1 - 0）+ （n+1-1）+ （n+1-2）+.+ [n+1-(n+1）]
= n+1 + n + (n-1) + .+ 0
= (n+1)(n+2)/2.
结论2,x + y + z = n 的非负整数解的个数为 (n+1)(n+2)/2.
x + y + z + w = 100,
x + (y+z+w) = 100,
因x可以从0变化到101,共有 101 种不同的取值,对于x的每一种取值,(y+z+w)只能取固定值（100-x）.
而根据结论2,y+z+w=100-x,一共有(101-x)(102-x)/2 组不同的非负整数解.
因此,x + y + z + w = 100 的不同的非负整数解的个数为,
(101-0)(102-0)/2 + (101-1)(102-1)/2 + (101-2)(102-2)/2 + ...+ (101-101)(102-101)/2
= [101*102 + 100*101 + 99*100 + ...+ 0*1]/2
= [(101^2 + 101) + (100^2 + 100) + (99^2 + 99) + ...+ (0^2 + 0) ]/2
= [(101^2 + 100^2 + 99^2 + ...+ 0^2) + (101+100+99+...+0)]/2
= [101*(101+1)(2*101+1)/6 + 101*102/2]/2
= [101*102*203/6 + 101*102/2]/2
= 101*102[203/6 + 1/2]/2
= 101*51[206]/6
= 101*17*103
= 176851

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