作业帮救急!函数奇偶性单调性题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 00:25:17
救急!函数奇偶性单调性题
已知f(x)在（-1,1）有定义,当且仅当x大于0小于1时,f(x)小于0,且对任意x,y属于（-1,1）都有f(X)+f(y)=f【(x+y）/(1+xy）】,证明：
1,f(x)为奇函数；
2,f（x）在（-1,1）上单调递减
已知f(x)在（-1,1）有定义,当且仅当x大于0小于1时,f(x)小于0,且对任意x,y属于（-1,1）都有f(X)+f(y)=f【(x+y）/(1+xy）】,证明：
1,f(x)为奇函数；
2,f（x）在（-1,1）上单调递减
①因为f(x)+f(y)=f【(x+y）/(1+xy）】,取x=y=0,带入得,f(0)=0.
取y=-x带入得,f(x)+f(-x)=f(0)=0,→f(-x)=-f(x)→函数为奇函数
②取x＞y,x,y∈(-1,1),由于函数是奇函数,
则f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f[(x-y)/(1-xy)]由于x,y∈(-1,1),所以1-xy大于0,又x＞y,所以1＞(x-y)/(1-xy)＞0.因当且仅当x大于0小于1时,f(x)小于0,所以
f[(x-y)/(1-xy)]＜0.所以在定义域内当x＞y时,有f(x)小于f(y),→函数是减函数
取y=-x带入得,f(x)+f(-x)=f(0)=0,→f(-x)=-f(x)→函数为奇函数
②取x＞y,x,y∈(-1,1),由于函数是奇函数,
则f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f[(x-y)/(1-xy)]由于x,y∈(-1,1),所以1-xy大于0,又x＞y,所以1＞(x-y)/(1-xy)＞0.因当且仅当x大于0小于1时,f(x)小于0,所以
f[(x-y)/(1-xy)]＜0.所以在定义域内当x＞y时,有f(x)小于f(y),→函数是减函数