怎么能只根据A是实对称矩阵还有特征值和一个特征向量就求出其他特征向量?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/26 09:00:36

怎么能只根据A是实对称矩阵还有特征值和一个特征向量就求出其他特征向量?
已知B是实对称矩阵,特征值u1=-2,u2=u3=1,属于u1的特征向量是（1,-1,1）T
设属于u2和u3的特征向量是（x1,x2,x3）T,则
x1-x2+x3=0,
于是特征向量
β2=（1,1,0）T
β3=（-1,0,1）T
这个β怎么出来的?

这个是由实对称矩阵的基本性质得到的.
首先,实对称矩阵一定可以正交对角化,也就是说存在正交阵Q和对角阵D使得A=QDQ^T,这个结论叫谱分解定理,是实对称阵最深刻的性质.
另一方面,实对称阵属于不同特征值的特征向量一定正交,这个可以直接验证,也可以从谱分解得到.
回到你的问题,u2和u3是两重特征值,并且一定有两个线性无关的特征向量β2,β3.
再利用正交性得到x1-x2+x3=0,而这个方程的非零解也一定是u2或u3的特征向量,取出这个方程的解空间的一组基就可以作为u2和u3的特征向量.
再问：那我取（0，1，1）也行？不是吧？
再答：当然可以

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