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计算积分∫∫▁D(x+y)dσ 积分区域D为X²+y²≤x+y

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/09 08:16:17
计算积分∫∫▁D(x+y)dσ 积分区域D为X²+y²≤x+y
转换为极坐标形式
令x=ρcosθ y=ρsinθ
x²+y²≤x+y 所以 ρ≤cosθ+sinθ
∫∫▁D(x+y)dσ=∫[-π/4,3π/4] dθ∫[0,cosθ+sinθ] ρ(cosθ+sinθ) ρdρ
=(1/3)∫[-π/4,3π/4] (cosθ+sinθ)^4 dθ
=(1/3)∫[-π/4,3π/4] [3/2-(cos4θ)/2+2sin2θ] dθ
=(1/3)×[3θ/2-(sin4θ)/8-cos2θ] | [-π/4,3π/4]
=π/2