证明：当x＞0时，ln（1+x）＜x-12

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/23 22:52:07

证明：当x＞0时，ln（1+x）＜x-

【解法1】利用函数单调性进行证明．
令F（x）=ln（1+x）-（x-
1
2x2+
1
3x3），则F（x）在[0，+∞）上连续可导．
因为F′（x）=
1
1+x-（1-x+x²）=
1−(1+x3)
1+x=-
x3
1+x＜0，
所以F（x）在（0，+∞）上严格单调递减，
从而当x＞0时，F（x）＜F（0），即：
ln（1+x）＜x-
1
2x2+
1
3x3．
【解法2】利用泰勒公式进行证明．
对于任意x＞0，利用泰勒公式可得，∃ξ∈（0，x），使得
ln（1+x）=x-
1
2x2+
1
3x3-
1
4ξ4，
从而，ln（1+x）＜x-
1
2x2+
1
3x3．

证明当x＞0时,不等式 x/（1+x）＜ln(1+x)＜x成立证明当x>0时,ln(1+x)＞x-(1/2）x² 当X>0时,证明ln（1+x）当x＞0时,证明ln(x＋1)＞x╱x＋1 当x>0时,证明ln(1+1/x) 当x＞0时,证明不等式ln（x+1）＞x＋1/2x² 证明:当x→0时,ln（1+x）~x 证明：当x＞0时，有不等式（1+x）ln（1+x）＞arctanx．当x>0时,证明不等式ln(1+x)>x-1/2x成立当x>0时证明ln(x+1)>x-1/2x^2 当x>1时（ln(1+x)/ lnx） >（ x/ 1+x ）怎么证明用泰勒公式证明:当x>0时,ln(1+x)>x-x^2/2