设数列{an}的前n项和为Sn，d为常数，已知对∀n，m∈N*，当n＞m，总有Sn-Sm=Sn-m+m（n-m）d成立

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/16 17:39:47

设数列{a_n}的前n项和为S_n，d为常数，已知对∀n，m∈N^*，当n＞m，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d成立
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若正整数n，m，k成等差数列，比较S_n+S_k与2S_m的大小，并说明理由；
（3）探究：命题p：“对∀n，m∈N^*，当n＞m时，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d”是命题q：“数列{a_n}是等差数列”的充要条件吗？请证明你的结论；由此类比，请你写出数列{b_n}是等比数列（公比为q，且q≠0）的充要条件（无需证明）？

（1）证明：∵当n＞m时，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d成立，
∴当n≥2时，S_n-S_n-1=S₁+（n-1）d，即a_n=a₁+（n-1）d，且n=1也成立，
∴当n≥2时，a_n-a_n-1=[a₁+（n-1）d]-[a₁+（n-2）d=d．
∴数列{a_n}是等差数列；
（2）∵正整数n，m，k成等差数列，
∴n+k=2m，
∴Sn+Sk−2Sm＝na1+
n(n−1)
2d+ka1+
k(k−1)
2d−2(ma1+
m(m−1)
2d)
=
d
2(n2+k2−2m2)＝
d
2(n2+k2−2(
n+k
2)2)=
d
4(n−k)2．
∴①当d＞0时，S_n+S_k＞2S_m；
②当d＜0时，S_n+S_k＜2S_m；
③当d=0时，S_n+S_k=2S_m；
（3）由（1）充分性已经得证，下面证必要性．
∵数列{a_n}是等差数列，
∴当n＞m时，
S_n-S_m-S_n-m=a_m+1+a_m+2+…+a_n-S_n-m
=(n−m)am+1+
(n−m)(n−m−1)
2d−[(n−m)a1+
(n−m)(n−m−1)
2d]
=（n-m）（a_m+1-a₁）=m（n-m）d．
∴S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d．
∴p：“对∀n，m∈N^*，当n＞m时，总有S_n-S_m=S_n-m+m（n-m）d”是命题q：“数列{a_n}是等差数列”的充要条件；
“数列{b_n}是等比数列（公比为q，且q≠0）”的充要条件是“对，当n＞m时，
总有Sn−Sm＝qm•Sn−m．

设正项数列｛An｝的前n项和为Sn,q为非零常数,已知对任意正整数n,m,当n＞m时,Sn－Sm＝q＾m＊S（n－m）总等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＜0．若存在正整数m（m≥3），使得am=Sm，则当n＞m（n∈N+）时，有an 设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,若存在正整数m,n（m＜n）,使得Sm=Sn,则Sm+n=0 数学题设数列An等差数列前n项和为Sn若m不等于n,Sn=m平方,Sm=n平方,求S(m+n) 在等差数列已知数列{an} 中,设前m项和为Sm,前n项和为Sn,且Sm=Sn (m不等于n）,求Sm+n 在等差数列{an}中,设前m项和为Sm,前n项和为Sn,且Sm=Sn,m不等于n,则Sm+n=? 在等差数列an中,前n项和为sn,若sm=2n,sn=2m,(m,n∈N*,且m≠n),则公差d的值为多少? 等差数列{an}前n项和为sn,公差为d1),使得am=sm,则当n>m(n∈N*)时sn和an(填,=) 等差数列（an),前n项和为Sn.(1)Sm=n,Sn=m.求Sm+n的值（2）Sm=Sn(m不等于n)求Sm+n的值已知非负等差数列{an}的公差d不为0,前n项和为Sn,设m,n,p∈N*,且m+n=2p （1）求证：1/Sn+1/S 已知等差数列{an}的前n项和为Sn若Sn=Sm(n不等于m)则Sn+m=? 已知等差数列an的前n项和为sn,且sm=sn(m不等于n)求s(m+n)