作业帮周期函数的定积分的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 02:19:14
周期函数的定积分的问题
设f(x)是定义在R上,且以T为周期的连续函数,a为任意常数,证明：f(x)在a到a+T上的定积分= f(x)在0到T上的的定积分
设f(x)是定义在R上,且以T为周期的连续函数,a为任意常数,证明：f(x)在a到a+T上的定积分= f(x)在0到T上的的定积分
换元即可
∫[a,a+T] f(x) dx 令 u = x﹣a,du = dx
= ∫[0,T] f(u) du
= ∫[0,T] f(x) dx
再问： 换元后被积函数应该是f(u+a)哦，还没可以变到f(u)
再答： 对啊，晕了。 ∫[a,a+T] f(x) dx = ∫[a,0] f(x) dx + ∫[0,T] f(x) dx + ∫[T,a+T] f(x) dx 其中 ∫[a,0] f(x) dx + ∫[T,a+T] f(x) dx = ∫[a,0] f(x) dx + ∫[0,a] f(u+T) du = ∫[a,0] f(x) dx + ∫[0,a] f(u) du = 0
∫[a,a+T] f(x) dx 令 u = x﹣a,du = dx
= ∫[0,T] f(u) du
= ∫[0,T] f(x) dx
再问： 换元后被积函数应该是f(u+a)哦，还没可以变到f(u)
再答： 对啊，晕了。 ∫[a,a+T] f(x) dx = ∫[a,0] f(x) dx + ∫[0,T] f(x) dx + ∫[T,a+T] f(x) dx 其中 ∫[a,0] f(x) dx + ∫[T,a+T] f(x) dx = ∫[a,0] f(x) dx + ∫[0,a] f(u+T) du = ∫[a,0] f(x) dx + ∫[0,a] f(u) du = 0