作业帮无限不循环小数的疑惑无限不循环小数——既是无限,又如何知道它是不循环的?或者它的循环节超级超级长呢?比如根号2等等,如何
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 02:39:46
无限不循环小数的疑惑
无限不循环小数——既是无限,又如何知道它是不循环的?或者它的循环节超级超级长呢?比如根号2等等,如何证明无限不循环小数真的是不循环的?
无限不循环小数——既是无限,又如何知道它是不循环的?或者它的循环节超级超级长呢?比如根号2等等,如何证明无限不循环小数真的是不循环的?
无限不循环小数就是无理数,而有理数包括整数和分数（分数包括有限小数和无限循环小数）.所以只要证明一个数不是整数和分数,那么这个数只能是无理数,也就是无限不循环小数.比如根号2,运用反证法,假设根号2=p/q,即一个分数,且p和q互质.那么有两种情况：p和q均为奇数,所以p^2和q^2也是奇数,但是由根号2=p/q即p^2=2*q^2,所以p^2是偶数,矛盾.第二种情况：一个奇数一个偶数,不妨设p奇q偶,那么p^2为奇数,q^2为偶数,但p^2=2*q^2,所以矛盾,如果p偶q奇,所以p^2是4的倍数,而q^2是奇数,但p^2=2*q^2,则q^2也应是偶数,否则p^2不是4的倍数,矛盾.我们已经假设p和q互质,所以不能都是偶数,故根号2不是分数,当然也不是整数,只能是无理数
再问： 打了这么多字真是辛苦你了。谢谢。 还想问问， 有办法证明分数包括所以无限循环小数吗，即，所有无限循环小数都可以表示成分数？
再答： 我晕，这不用证吧，无限循环小数怎么来的？还不是整数除以整数除不尽时得到的
再问： 嗯，你是头脑精密型。 “整数除以整数的结果可以是无限循环小数”——逆命题“无限循环小数一定可以表示成整数除以整数（即分数）”——以前读书的时候老师不是常说一个命题的逆命题不一定成立，那，这个逆命题如何证明呢？或者你告诉我这在数学上可不可以证明就可以了，告诉我如何证明或者我也看不懂，隐约觉得这可能涉及太深的数学知识。 谢谢了。对这个问题我有点疑惑。
再答： 利用一个帮你证明一下。比如0.333333333··· 先乘以10，得到3.33333····，然后减去0.3333333····，得到3，所以（10-1）*0.33333····=3，那么0.3333···=3/9=1/3 或者比如0.232323···，可以用上述方法，乘以100，也可以假设x=0.232323···，那么100x-23=x，所以x=23/99
再问： 打了这么多字真是辛苦你了。谢谢。 还想问问， 有办法证明分数包括所以无限循环小数吗，即，所有无限循环小数都可以表示成分数？
再答： 我晕，这不用证吧，无限循环小数怎么来的？还不是整数除以整数除不尽时得到的
再问： 嗯，你是头脑精密型。 “整数除以整数的结果可以是无限循环小数”——逆命题“无限循环小数一定可以表示成整数除以整数（即分数）”——以前读书的时候老师不是常说一个命题的逆命题不一定成立，那，这个逆命题如何证明呢？或者你告诉我这在数学上可不可以证明就可以了，告诉我如何证明或者我也看不懂，隐约觉得这可能涉及太深的数学知识。 谢谢了。对这个问题我有点疑惑。
再答： 利用一个帮你证明一下。比如0.333333333··· 先乘以10，得到3.33333····，然后减去0.3333333····，得到3，所以（10-1）*0.33333····=3，那么0.3333···=3/9=1/3 或者比如0.232323···，可以用上述方法，乘以100，也可以假设x=0.232323···，那么100x-23=x，所以x=23/99