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定义在R上的函数f(x),对任意的x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0 求证:f(

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/24 02:23:53
定义在R上的函数f(x),对任意的x,y∈R,f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0 求证:f(0)=1 f(x)是偶函数
设x=y=0代入原式即得f(0)=1
设x=y代入得f(2y)+1=2f(y)f(-y) (1)
设x=-y代入得1+f(-2y)=2f(y)f(-y) (2)
联立(1)(2)即得f(2y)=f(-2y)原式得证
一般情况下这种题型都是设xy然后不断代换得出最终结果的