作业帮100分悬赏一个几何问题,若能解决,另有100分重谢!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 00:17:47
100分悬赏一个几何问题,若能解决,另有100分重谢!
定义：平面上两点P1、P2,当直线P1P2的斜率为k时,称为“P1、P2以斜率k配对”
有互不相等的m个斜率值k1,k2,...,km,以及一个平面点集{Pn}(n=1,2,3...),若要求：对于点集中的任何一个点Pi,以k1,k2,...,km中的任一个斜率,至少能在该点集中找到一个不同的点Pj与之配对.问：该点集的最小尺寸是多少（即n的最小值）?此时该点集中的点应该满足什么排布规律?并证明为什么此时的n是满足条件的最小值?
我的猜想是m的最小值为2n,并且这时2n个点组成一个“平行多(2n)边形”.
我以n=3的情况作为例子具体说明吧,见图：
设图中MN、NL、LM的斜率分别为k1,k2,k3,则点集{A,B,C,D,E,F}满足问题条件,大家只需注意图中相关点之间连线的平行关系即可明白,毋庸赘言.对于给定的三个斜率值,我能根据一定的画图规则得到六点点集,但不能给出严格的数学证明（用符号、公式）,证明六点是满足条件的最小点数,不能以理服人,n>3的情形更是无法证明.这个插图就当做抛砖引玉吧,对于高手来说也许这个问题很简单,请不吝赐教!
这里先追加50分!
定义：平面上两点P1、P2,当直线P1P2的斜率为k时,称为“P1、P2以斜率k配对”
有互不相等的m个斜率值k1,k2,...,km,以及一个平面点集{Pn}(n=1,2,3...),若要求：对于点集中的任何一个点Pi,以k1,k2,...,km中的任一个斜率,至少能在该点集中找到一个不同的点Pj与之配对.问：该点集的最小尺寸是多少（即n的最小值）?此时该点集中的点应该满足什么排布规律?并证明为什么此时的n是满足条件的最小值?
我的猜想是m的最小值为2n,并且这时2n个点组成一个“平行多(2n)边形”.
我以n=3的情况作为例子具体说明吧,见图：
设图中MN、NL、LM的斜率分别为k1,k2,k3,则点集{A,B,C,D,E,F}满足问题条件,大家只需注意图中相关点之间连线的平行关系即可明白,毋庸赘言.对于给定的三个斜率值,我能根据一定的画图规则得到六点点集,但不能给出严格的数学证明（用符号、公式）,证明六点是满足条件的最小点数,不能以理服人,n>3的情形更是无法证明.这个插图就当做抛砖引玉吧,对于高手来说也许这个问题很简单,请不吝赐教!
这里先追加50分!
你的问题我现在回答不了,但是我的思路可能对你有帮助.
从你给出的存在性点集的构造方法中可以看出,利用k1,k2,k3,构造出基本三边形,然后在任意一条边上或者其延长线上取定第一个点,然后作平行于k1,k2,k3,的直线,交基本三边形的上或其延长线上,等到一共6个点.这6个点就是满足要求的点集.
其实基本三边形就是你要求的点集,只不过不是普通意义下满足要求.通过三边形的每一个顶点,只有2个斜率,如果认为自身存在第三个斜率就成了,每一个点都可以和自身构造成任意斜率的直线.那么从这个角度看,n个点的最小点集就是n.如果抛开自身构造直线,不同于自身的点自然需要2n个.而且这些点都存在于三边形的延长线上,每个边上2个.一共2n.而且6边形的对边是平行的.
对于4个点的情况,可以以正8边形为例,它的所有对角线和边组成的斜率大于4个,是满足要求的.如果是一般情形的8边形,在对边相互平行的情况下,每个点天然存在2个斜率,那么另外的2个斜率就必须从它的对角线里面获得,那么就要要求至少2条对角线必须和另外2个对边平行.这样的构造好像不存在.
感觉问题的解决,需要抽象几何的概念,比如任意两点满足要求的斜率,就认为两点之间存在一条直线,反之认为两点不在一条直线上.或者利用抽象代数里面群的概念,存基本形开始,进行扩展.同时射影几何的方法可能更加直接,有帮助,不知道这个问题是否和帕普斯定理有关系,或者考虑无穷远点可能看问题更加深刻一些.利用一般线性空间中的基与相关性,不知道怎么看.
总体上数学水平有限,算是抛砖引玉吧.
从你给出的存在性点集的构造方法中可以看出,利用k1,k2,k3,构造出基本三边形,然后在任意一条边上或者其延长线上取定第一个点,然后作平行于k1,k2,k3,的直线,交基本三边形的上或其延长线上,等到一共6个点.这6个点就是满足要求的点集.
其实基本三边形就是你要求的点集,只不过不是普通意义下满足要求.通过三边形的每一个顶点,只有2个斜率,如果认为自身存在第三个斜率就成了,每一个点都可以和自身构造成任意斜率的直线.那么从这个角度看,n个点的最小点集就是n.如果抛开自身构造直线,不同于自身的点自然需要2n个.而且这些点都存在于三边形的延长线上,每个边上2个.一共2n.而且6边形的对边是平行的.
对于4个点的情况,可以以正8边形为例,它的所有对角线和边组成的斜率大于4个,是满足要求的.如果是一般情形的8边形,在对边相互平行的情况下,每个点天然存在2个斜率,那么另外的2个斜率就必须从它的对角线里面获得,那么就要要求至少2条对角线必须和另外2个对边平行.这样的构造好像不存在.
感觉问题的解决,需要抽象几何的概念,比如任意两点满足要求的斜率,就认为两点之间存在一条直线,反之认为两点不在一条直线上.或者利用抽象代数里面群的概念,存基本形开始,进行扩展.同时射影几何的方法可能更加直接,有帮助,不知道这个问题是否和帕普斯定理有关系,或者考虑无穷远点可能看问题更加深刻一些.利用一般线性空间中的基与相关性,不知道怎么看.
总体上数学水平有限,算是抛砖引玉吧.