作业帮一个有关广义积分收敛性判别的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 16:04:46
一个有关广义积分收敛性判别的问题
这面这个例题是用上面的判别法来做的,k 怎么算出来的是1/2?其实我是不太懂这个判别法中的 k 指的是什么?怎么算出它的值?
这面这个例题是用上面的判别法来做的,k 怎么算出来的是1/2?其实我是不太懂这个判别法中的 k 指的是什么?怎么算出它的值?
这里的k不是算出来的啊!因为原式里面有一项是根号下(x-1),而1/(x+1)很容易就可以判别出他的收敛性.所以取了一个k=1/2,这里的k需要根据具体的题目具体来取的.至于你说的k的意义,这里可以看做是运用了比较审敛法,f(x)/[1/(x-a)^k],在k>=1,x无限趋近于a的时候,1/(x-a)^k的极限实际上是无穷的.所以f(x)是发散的,而k
再问： 还是不太懂，要是k可以自己看着取，那这题如果我取k=1，极限=0，这时候k>=1了，我能就说这个积分发散了？这好像有点荒唐了，那岂不成了我想让他收敛就收敛，让他发散就发现了，题目不就没意义了
再答： 首先我想问问你，你看的这部分是在哪一章出现的。是无穷积分还是瑕积分？如果这本书只有广义积分，然后给你一个判别法，我只能说，这本书的严谨性缺失很大。
就这个题目来说，它是瑕积分，在x=1的这个点，f(x)存在断点。这本书只告诉你判别方法，但是没告诉你，对于M0，瑕积分判别法其实是有要求的。
这是瑕积分判别法的具体内容。无论你取什么k值，M0=0的时候，说明的是f(x)与(x-a)^k是同敛态。就是说，M0=0的时候，(x-a)^k收敛，f(x)就收敛；(x-a)^k发散，f(x)就发散。你举得例子，k=1，M0=0,这时候很明显x-1是收敛的，所以f(x)就是收敛的。我的截图节选自华东师范大学的《数学分析》第三版瑕积分那一章，M0=0的情况证明比较复杂，我就不打上来了，如果你想知道原因，可以看看上面那本书。
再问： 还是不太懂，要是k可以自己看着取，那这题如果我取k=1，极限=0，这时候k>=1了，我能就说这个积分发散了？这好像有点荒唐了，那岂不成了我想让他收敛就收敛，让他发散就发现了，题目不就没意义了
再答： 首先我想问问你，你看的这部分是在哪一章出现的。是无穷积分还是瑕积分？如果这本书只有广义积分，然后给你一个判别法，我只能说，这本书的严谨性缺失很大。
就这个题目来说，它是瑕积分，在x=1的这个点，f(x)存在断点。这本书只告诉你判别方法，但是没告诉你，对于M0，瑕积分判别法其实是有要求的。
这是瑕积分判别法的具体内容。无论你取什么k值，M0=0的时候，说明的是f(x)与(x-a)^k是同敛态。就是说，M0=0的时候，(x-a)^k收敛，f(x)就收敛；(x-a)^k发散，f(x)就发散。你举得例子，k=1，M0=0,这时候很明显x-1是收敛的，所以f(x)就是收敛的。我的截图节选自华东师范大学的《数学分析》第三版瑕积分那一章，M0=0的情况证明比较复杂，我就不打上来了，如果你想知道原因，可以看看上面那本书。