设自然数n使2n+1和3n+1是完全平方数．

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/19 04:47:38

设自然数n使2n+1和3n+1是完全平方数．
（1）求证：40|n．
（2）5n+3能否为质数？

证明：（1）∵2n+1是完全平方数，
∴2n+1被8除余1，
∴n为偶数，
∴3n+1为奇数，
又∵3n+1是完全平方数，
∴3n+1被8除余1，
∴8|3n，
∵（8，3）=1，
∴8|n．由x²=0，1，4（mod5），及（3n+1）+（2n+1）=5n+2，
得2n+1被5除均余1，于是5|（3n+1）-（2n+1），
即5|n，
∵（8，5）=1，
∴40|n；
（2）由2n+1及3n+1都是完全平方数，可设2n+1=k²及3n+1=m²（k，m∈N），
则5n+3=4（2n+1）-（3n+1）=4k²-m²=（2k+m）（2k-m），
显然2k+m＞1，若2k-m=1，即2k=m+1，
从而5n+3=2k+m=2m+1，
于是（m-1）²=m²-（2m+1）+2=（3n+1）-（5n+3）+2=-2n＜0，
这与（m-1）²≥0矛盾，故2k-m＞1，
所以5n+3是合数，
即5n+3不能为质数．

证明：对任意自然数n,代数式（n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1是一个完全平方数如何证明对任和自然数n,n(n+1)都不可能是完全平方数? 证明n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)是一个完全平方数求证:当n为自然数时,(3n^2-n+1)(3n^2-n+3)+1是一个完全平方数当n为自然数时,代数式(n^2-n+1)(n^2-n+3)+1是一个完全平方式设n是一个正整数,且1*2*3*...*n+3是一个完全平方数,求n的值. 试说明对于任何自然数n,n*(n+1)都不可能是完全平方数因式分解：设n为自然数,请说明（n^-n+1)(n^-n+3)+1是一个完全平方式的理由 n是自然数，如果n+20和n-21都是完全平方数，则n等于______．自然数n加行2后是一个完全平方数,减去1后也是个完全平方数,求证自然数n满足条件4n-n^2-3>0 证明（n-2)n(n+1)(n+3)+9(n为正整数）是完全平方数设S=1＊2＊．．＊N＋（4k+3),N大于等于3,k是1～100之间的自然数．S为完全平方数,k的值有几种?