作业帮判断函数单调性,并说明理由
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 12:44:59
判断函数单调性,并说明理由
[a^(2x+1)-a]/[a^(2+x)-a^x]
[a^(2x+1)-a]/[a^(2+x)-a^x]
易知,a＞0,且a≠1.分子分母同除a^x,可化为f(x)=[a/(a²-1)]×[a^x-(1/a^x)]=[a/(a²-1)]g(x).g(x)=(a^x)-(1/a^x).构造复合函数g(u)=u-(1/u),u=a^x.(x∈R).易知,u=a^x＞0,且g(u)=u-(1/u)在(0,+∞)上递增,（一）当0＜a＜1时,a/(a²-1)＜0,u=a^x在R上递减,∴g[u(x)]在R上递减,∴f[u(x)]在R上递增,（二）a＞1时,a/(a²-1)＞0,u=a^x在R上递增,∴g[u(x)]在R上递增,===》f[u(x)]在R上递增.∴当a＞0,且a≠1时,原函数在R上递增.【注：还可用导数来判断】求导f'(x)=[(a㏑a)/(a²-1)]×[a^x+(1/a^x)].显然,当0＜a＜1,及a＞1时,均有f'(x)＞0,∴在R上,f(x)递增.