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如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,BB1的中点,求异面直线A1F与D1E所成角的余弦值.

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 09:44:55
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1,BB1的中点,求异面直线A1F与D1E所成角的余弦值.
证明:连接A1C1、C1F、EF,
∵正方形AA1B1B中,E,F分别是棱AA1,BB1的中点,
∴A1B1∥EF且A1B1=EF
∵A1B1∥C1D1且A1B1=C1D1
∴EF∥C1D1且EF=C1D1,可得四边形C1D1FE是平行四边形
因此,D1E∥C1F,
∴∠A1FC1(或其补角)就是异面直线A1F与D1E所成角
设正方体棱长为2,则△A1FC1中,A1F=C1F=
5,A1C1=2
2
由余弦之理,得cos∠A1FC1=
5+5−8


5=
1
5>0
∴∠A1FC1是锐角,可得异面直线A1F与D1E所成角的余弦值为
1
5.