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设Q(x,y)在xoy平面上有一阶连续偏导数,曲线积分∫L 2xydx+Q(x,y)与路径无关,对任意t恒有

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2022/08/14 01:48:17
设Q(x,y)在xoy平面上有一阶连续偏导数,曲线积分∫L 2xydx+Q(x,y)与路径无关,对任意t恒有
∫L 2xydx+Q(x,y)dy从点(0,0)到(t,1)的积分等于从点(0,0)到(1,t)的积分,求Q(x,y)
令P(X,Y)=2XY
积分与路径无关,所以偏P偏y=偏Q偏x,即2x=偏Q偏x,所以Q=x^2+f(y)
现在要想方法解出f(y)
可用有向直线段依次连接(0,0),(1,t),(t,1).因积分与路径无关,所以在这样的封闭的三角形边上的积分∫L 2xydx+Q(x,y)dy=0,又“∫L 2xydx+Q(x,y)dy从点(0,0)到(t,1)的积分等于从点(0,0)到(1,t)的积分”,所以从(1,t)到(1,t)的直线上的积分∫ 2xydx+Q(x,y)dy=0,
可将x=-y+t+1带入到∫ 2xydx+Q(x,y)dy=0中,
得到∫ [2(-y+t+1)y]d(-y+t+1)+[(-y+t+1)^2+f(y)]dy=0(y从t到1)
怎么求f(y)?
本解答从这一步出发:
得到∫ [2(-y+t+1)y]d(-y+t+1)+[(-y+t+1)^2+f(y)]dy=0(y从t到1)
也即∫ [-2(-y+t+1)y]dy+[(-y+t+1)^2+f(y)]dy=0(y从t到1)
由此求f(y)的方法是,等式两边对t求导【在此只需将被积函数中的y换成t,取负号】,得到
2t-1-f(t)=0.