已知,三角形ABC内接于圆O,AD是圆O直径,点E、F分别在AB、AC的延长线上,EF交圆O于M、N,交AD与点H,H是

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/04/20 00:51:12

已知,三角形ABC内接于圆O,AD是圆O直径,点E、F分别在AB、AC的延长线上,EF交圆O于M、N,交AD与点H,H是OD的中点,弧MD=弧DN,EH-HF=2,设角ACB=a,
tan a=3/4,EH和HF是方程x^2-(k+2)x+4k=0的两个实数根.
(1)求EH和HF的长;(2)求BC的长

（1）根据根与系数的关系,可以得到EH+HF=k+2②,EH•HF=4k＞0③,再结合已知EH-HF=2,可求k的值,再把k的值代入方程,解方程可求EH、HF,从而可求EH；
（2）连接BD、CD,由于AD是直径,根据垂径定理可知,AD⊥EF,再利用同角的余角相等,可知∠E=∠1,再利用圆周角的性质,可知∠E=∠1=∠α,从而tan∠E=34,结合EH=8,可求AH,再利用勾股定理可求AE,在Rt△AHF中,利用勾股定理可求AF,在Rt△ABD中,由于tan∠1=34,可设AB=3m,BD=4m,利用勾股定理可知AD=5m,而H是OD中点,从而AD=43AH,由于AH=6,可求AD、m的值,从而可求AB,利用∠α=∠E,再加上一个公共角,可证△ABC∽△AFE,可得比例线段,容易求出BC．
（1）依题意,及一元二次方程根与系数关系,得
△=[-（k+2）]2-4×4k＞0,①
EH+HF=k+2,②
EH•HF=4k＞0,③
又EH-HF=2④
由②、③、④得k=12,
当k=12时,①成立．
把k=12代入原方程解得x1=8,x2=6,
∴EH=8,HF=6．
（2）解法一：
连接BD,∵∠1=∠a,
又∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°
∵MD̂=DN̂,
∴AD⊥EF,即∠AHE=∠AHF=90°,
∴∠E=∠1=∠a,
在Rt△AEH中,tanE=AHEH=tana=34,又EH=8,
∴AH=6,
由勾股定理得AE=10,
在Rt△AHF中,AH=HF=6,
由勾股定理得AF=62
在Rt△ABD中,tan∠1=ABBD=tana=34,
设AB=3m,则BD=4m,由勾股定理得AD=5m
∵H是OD的中点,
∴AH=34AD
∴AD=43AH=43×6=8
∴5m=8,解得m=85,
∴AB=3m=245,
∵∠E=∠a,∠BAC=∠FAE,
∴△ABC∽△AFE
∴BCEF=ABAF
∴BC=AB(EH+HF)AF=245×(8+6)62=2852；
解法二：
同解法一求出AE=10,AD=8
连接CD,
∵AH=HF,且AH⊥HF,
∴∠HAF=∠F=45°
∵AD为⊙O直径,
∴∠ACD=90°,∠ADC=45°
∴AC=AD•sin∠ADC=AD•sin45°=42,
以下同解法一求得BC=AC•EFAE=42×1410=2852．没有根号你慢慢理解吧

已知,三角形ABC内接于圆O,AD是圆O直径,点E、F分别在AB、AC的延长线上,EF交圆O于M、N,交AD与点H,H是如图,以△ABC的边BC为直径作圆O分别交AB、AC于点F点E,AD⊥BC于D,AD交于圆O于M,交BE于H,求证：DM 如图,三角形内接于圆O,且AB=AC,点D在圆O上,AD垂直BC交于点A,AD与BC交于点E,F在DA延长线上,且AF= 如图,在圆O中,弦CD与直径AB垂直于H点,E是AB延长线上一点,CE交圆O于F点已知：如图AB是圆o的直径,点E是弧AD的中点,连接BE交AD于点G,BG的垂直平分线CF交BG与点H,交AB于点F,交已知三角形ABC内接于圆O,BC是圆O的直径,AD是三角形ABC的高,OE平行AC,OE交AB于E. 以三角形ABC的BC边为直径的圆O交AB于G,AD切圆O于D,在AB上取AE=AD,作EF垂直AB且与AC延长线交于点F AD是圆O直径,PD与圆O相切,BC延长线与PD交于P点,PO交圆O于E,F,交AC,AB于M,N,求证：OM=ON 如图,已知AB,AC分别是圆O的直径和弦,D为劣弧AC上一点,DE垂直于AB于点H,交圆O于点E,交AC于点F,P为ED 关于垂心的定理的证明圆O是三角形ABC的外接圆,点H是三角形ABC的垂心,AD垂直BC于点D,延长AD交圆O于点E,则H 关于三点共线与圆如图,已知在△ABC中,AD⊥BC.以AD为直径的圆O分别交AB于E、AC于F.连接BF、CE交于点I；求解一道数学题~急三角形ABC中,AD是角平分线,E是BC延长线上一点,EF垂直AD于H点交AB于F交AC于N.若角BA