作业帮证明∫∫∫f(z)dxdydz=π∫f(z)(1-z^2)dz,其中V:x^2y^2z^2≤1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/18 22:42:53
把积分顺序的六种可能都写一遍,用变量替换证明这六个积分都一样,并且和就是右边……
先判断两个曲面的大小关系：z=x²+2y²为顶点在原点,开口向上的椭圆旋转抛物面z=2-x²为顶点在直线y=0上,开口向下的抛物面所以有==>x²+2y²≤z≤2-x²再解出在xy
(1+x+y+z)ˆ-(3) 的原函数是（-1/2）(1+x+y+z)ˆ(-2)I=(1/2) (ln2-5/8)
可能是你的哪里算漏了吧
用柱坐标,积分区域：0≤r≤z,0≤t≤2π,1≤z≤2.∫∫∫z^2dxdydz=∫z^2dz∫dt∫rdr=∫z^2dz∫dt(z^2/2)=π∫z^4dz=π[z^5/5]=31π/5.
题目中z=0表示的就是xoy平面,画个大概的立体图容易知道,此时所求的区域在Z正半轴,Z>0,当x=y且z=xy时,x=y=0,x=1是x的积分上限,若被积区域在x>1的范围,就不能构成封闭的积分区域.因此断定x从0到1.
累次积分,投影到xoy面上,先对Z积分,积分限（0,xy),再对y积分（0,x),x积分（0,1）=1/28*13
三次积分自己算再问：截面法呢，主要是截面法亲~
作柱面坐标变换,设x=rcosφ,y=rsinφ,z=z故∫∫∫|z-x^2+y^2|dxdydz=∫(0,2π)dφ∫(0,√2)rdr∫(0,1)|z-r|dz(符号∫(a,b)表示从a到b积分,以下类同)=2π[∫(0,1)rdr∫(
第二个等号其实就是对y的积分,x=y+z,因此积分为∫f(y+z,y)dy由于定积分可以随便换积分变量因此写成∫f(x+z,x)dx再问：那上面两个对x积分的式子在使用的时候怎么用有哪种情况下优先用哪种的说法吗还是两个都是一样的通用？再答：
左边=∫[-a→a]f(x)dx=∫[-a→0]f(x)dx+∫[0→a]f(x)dx前一个积分换元,令x=-u,则dx=-du,u：a→0=∫[a→0]f(-u)d(-u)+∫[0→a]f(x)dx=∫[0→a]f(-u)du+∫[0→a
左边=-cosπ+cos0=2右边=2(-cosπ/2+cos0)=2原式成立再问：是f(sinx),不是sinx再答：抱歉，没仔细看题呵。令x=(π/2)-t则∫(0,π/2)f(sinx)dx=∫(π/2,0)f(cost)(-dt)=
积分值=（变量替换x＝pi/2-t)积分（0到pi/2）f(cosx)/(f(sinx)+f(cosx)),两者相加（就是两倍的积分值）,被积函数是1,故积分值是pi/2,因此原积分值是pi/4
选用柱坐标系：0≤θ≤2Pi,0≤r≤2,r^2/2≤z≤2原式=∫dθ∫dr∫r^3dz=∫dθ∫r^3(2-r^2/2)dr=2Pi*(r^4/2-r^6/12)|r=2=16Pi/3再问：0≤r≤2,r^2/2≤z≤2这个范围咋确定的