证明必可由线性表示

证明：设a为任一n维向量．因为a1，a2，…，an，a是n+1个n维向量，所以a1，a2，…，an，a是线性相关的．又因为a1，a2，…，an线性无关，所以r（a1，a2，…，an，a）=r（a1，a

证:(1)反证.假如αs能由α1,α2,…αs-1线性表示由已知β可由向量组α1,α2,…αs线性表示所以β可由向量组α1,α2,…αs-1线性表示这与β不能由向量组α1,α2,…αs-1线性表示矛盾

证明：由向量组[a+c,b+c]线性相关,得线性关系b+c=k(a+c)+m化解得(1-k)c=k*a+m-b假设k=1,得0=a+m-b,即b=a+m线性关系这与已知向量组[a,b]线性无关相矛盾,

因为α2,α3,α4线性无关所以α2,α3线性无关又因为α1,α2,α3线性相关所以α1可表示为α2,α3的线性组合所以α1可表示为α2,α3,α4的线性组合

证明：∵a1,a2,a3线性相关∴存在不全为0的数b1,b2,b3使b1a1+b2a2+b3a3=0又a2,a3,a4线性无关∴a2,a3线性无关∴若b1=0,则b2a2+b3a3=0∴b2=b3=0

用反证法若a1,a2,a3线性相关,则存在不全为0的k1,k2,k3使得k1a1+k2a2+k3a3=0别外存在唯一的一组p1,p2,p3使得p1a1+p2a2+p3a3=A两试相加有(k1+p1)a

方法方法

知识点:若A组可由B组线性表示,则R(A)

由a4可以由a1,a2,a3,线性表示所以a4=k1a1+k2a2+k3a3又由a1能由a2,a3线性表示所以a1=m1a2+m2a3代入上式a4=k1(m1a2+m2a3)+k2a2+k3a3=(k

证明：必要性:a1,a2,...an线性无关=>|a1,a2,...an|≠0=>对任一n维向量b,(a1,a2,...an)X=b有解=>任一n维向量b都可被a1,a2,...an线性表示充分性:因

证明:因为e1,e2,e3.en线性无关,且任一向量都可由n维基本向量组e1,e2,e3.en线性表示由已知,a1,a2,a3...an与e1,e2,e3.en等价.而等价的向量组秩相同所以r(a1,

设β=p1a1+p2a2+p3a3=q1a1+q2a2+q3a3得（p1-q1）a1+（p2-q2）a2+（p3-q3）a3=0.由a1,a2,a3线性无关知p1-q1=p2-q2=p3-q3=0.从

必要性因为任意n+1个n维向量一定线性相关,设a是任意一个n维向量,则向量组a,a1.a2…an必线性相关,又n维向量组a1.a2…an线性无关,a都可由他们线性表示.充分性若任一n维向量a都可由a1

线性代数一些最重要的概念可以整理如下所示：（1）行列式、矩阵、向量、方程组是线性代数的基本内容,它们不是孤立隔裂的,而是相互渗透,紧密联系的,例如∣A∣≠0〈===〉A是可逆阵〈===〉r（A）=n（

证明：设有k1,k2,k3使：k1a1+k2a2+k3a3=0因a3不能由a1,a2线性表示,k3=0,故k1a1+k2a2=0因a2不能由a1线性表示,k2=0,故k1a1=0因a1不等于0,所以：

假设线性相关,那么存在不全为0的c1、c2、……cs、d使得：c1a1+c2a2+.……+csas+d(b1+b2)=0显然d不等于0,因为等于0,那么a.就线性相关了.那么b2＝(-c1a1-c2a

利用反证法1：假定a1,a2,a3线性相关,既存在不全为零的常数m,n,t使得ma1+na2+na3=O.若t!=0,则a3=-(m/t)a1-(n/t)a2,由此a3可由a1,a2线性表示,与已知矛

是错的结论应该是d可由其余线性表示再问：能说为什么吗？a不可以用b,d表示吗？再答：a.b.c无关则a.b无关由a.b.d相关知d可由a.b表示再问：a不可以用b,d表示吗？那a不是可以由b，d，c表

证明：由于向量组a1,...,as可由向量组b1,...,bt线性表示,所以R(a1,...,as)≤R(b1,...,bt)≤t又s>t,得R(a1,...,as)

对线性相关：k1a1+k2a2+...+knan=0所以：a1=-(k2/k1)a1-...-(kn/k1)an