作业帮证明下列递归数列收敛,并求其极限
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/13 19:51:23
易知xn>0xn+1/xn=(1+1/n)^k/a令N=[1/(a^(1/k)-1)]+1n>N时,n>1/(a^(1/k)-1)xn+1/xnN时,xn是减函数单调有界函数必定收敛故xn收敛设lim
（1）数学归纳法证明{x(n)}单调递减；（2）显然,x(n)＞0,所以,有下界；从而,{x(n)}的极限存在.设lim{x(n)}=a则a=√（2a+3）解得,a=3或a=-1（舍去）从而,lim{
后项=根号(前项+2)(*)首先证明每一项都小於2.这一点可以归纳证:(1)根号2小于2(2)假设前项小於2,则前项+2小于4,所以后项=根号(前项+2)小於2.由数学归纳法知全部项小於2.再证此数列
Xn-1=(X(n-1)-1)/4;所以数列{Xn-1}为公比是1/4的等比数列,首项为0-1=-1Xn-1=-(1/4)^(n-1);Xn=1-(1/4)^(n-1);显然收敛于1.
Xn+1=Xn×(2-a*Xn)=-a×(Xn-1/a)²+1/a→(1/a-Xn+1)=a×(1/a-Xn)²令Yn=1/a-Xn,则Yn+1=a×Yn²(Y1=1/a
首先,由X1=a>0及Xn+1=1/2(Xn+1/Xn),得所有Xn>0(n为自然数).（由这个公式,可知Xn+1与Xn符合相同,而X1大于0,因此所有{Xn}中元素均大于0.这个是利用下面不等式的基
极限为0.5*（1+根号5）.证明：设f（x）=1+(Xn-1/（1+Xn-1）),对f（x）求导,得导数为正,f（x）单调递增,又f（x）=1+(Xn-1/（1+Xn-1）)小于2,有上界.利用单调
由题可得：Xn>=√a有下界,Xn/Xn-1=1/2(1+a/Xn²)≦1/2(1+a/(√a)²)=1所以单减有界所以Xn极限等于Xn-1极限,解得原式的极限为√a再问：Xn>=
如图.
显而易见,这个数列是递增然后再用数学归纳法证明这个数列是有上界的因为有a1=√2
1,先证数列递增数列递增显而易见,也可以用第二数学归纳法证明这个数列递增因为a1=√2
那我就只说明收敛吧.证明：a1
X1=1,Xn+1=Xn/(1+Xn)+10X(n+1)-Xn=Xn/(1+Xn)+1-X(n-1)/(1+X(n-1))+1=(Xn-X(n-1))/((1+Xn)(1+X(n-1))由归纳法：X(
an=(1+根号5)/2或an=(1-根号5)/2