证明x~ln(1 x)~(e^x-1)

要证x>ln(1+x)(x>0)即证,x-ln(1+x)>0设f(x)=x-ln(1+x)求导可得：f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0在定义域(0,+无穷)上恒成立,所以f(x)单调增

ln[x]>[1/(e^x)-(2/ex)]记f(x)=ln[x]-e^(-x)+(2/ex),等价证明：当x>0时,f(x)>0.由一阶导数f’(x)=1/x+1/e^x-2/ex^2=0得：1/x

设f(x)=e^x,则存在柯西属于（0,x）,使得f"(柯西)=[f(x)-f(0)]/[x-0],e^(柯西)=[e^x-1]/x

首先楼主中值定理用错了,f（x）-f（0）=f‘（a）*x,而不是楼主的f（x）-f（0）=f‘（x）*a不过对这题影响不大这题直接求f'(x)=e^x-ln(1+x)-1就行对f'(x)求导得到f'

所谓等阶无穷小代换, 是以罗毕达法则为保证的, 很多教师在学生还没有学罗毕达法则时,用罗毕达法则试出一大串所谓的“等阶无穷小”,然后要学生死记硬背,把一门生气勃勃的微积分教成了靠死

y=x-ln(1+x)y'=1-1/(1+x)=x/(1+x)x>1y'>0y单调递增x>1x=1时y=1-ln2>0所以y=x-ln(1+x)>0x>ln(1+x)

lim{x->0}ln(1+x)/x=lim{x->0}1/x×ln(1+x)=lim{x->0}ln(1+x)^{1/x}=ln[lim{x->0}(1+x)^{1/x}]=lne=1令e^x-1=

我综合了别人的一些方法,现在解法如下：此题先用泰勒公式在0点展开,到三阶导数：ln(1+x)=x-(1/2)x^2+(1/3)x^3+o(x^3)ln(1-x)=-x-(1/2)x^2-(1/3)x^

 如果感觉还好,

证明：因为lim(x→0)ln(x+1)=ln(0+1)=0,lim(x→0)x=0,且lim(x→0)[ln(x+1)]/x=lim(x→0)ln[(x+1)^(1/x)]=lne=1,所以ln(x

这种题用构造新函数的方法：设F（X）=x-ln(1+x),然后求导,导数f(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)>0.所以F（X）>F（0）>0.得证

f(x)=e^x-x-1f'(x)=e^x-1x>0,e^x>1所以f'(x)>0所以f(x)是增函数x>0所以f(x)>f(0)而f(0)=e^0-0-1=0所以f(x)>0e^x-x-1>0所以x

构造函数f(x)=x-ln(x+1)对f(x)求导：f'(x)=1-1/(x+1)令f'(x)=0,得x=0并且在（-1,0）上,f'(x)

因为f'(x)=x/(1+x)>0成立的条件是x>1得到：f(x)在（1,+无穷）上单调递增有：f(x)min>f(1)=1-ln(1+1)=0.3>0恒成立所以题设成立

请看图片：\x0d\x0d

x趋向0lim[ln(1-x)/(e^x-1)]=lim(x趋向0)(-x)/x=-1

这一题你先展开式子,得-x-In（-x）+In（-x）/x,再把x=-e带入,再求出函数的单调性,就能得出答案了,因为我是抢答,要在5分钟之内打完字,我打字速度慢,所以解释的不详细,再答：可以用导函数

1.f'(x)=e^x-1/(x+1),f'(0)=0,f''(x)=e^x+1/(x+1)^2>0,f'(x)为（-1,+∞）上的增函数,所以x>0时,f'(x)>f'(0)=0,f(x)在（0,+

设差函数F(x)=x-ln(x+1)(x>-1)求导F'(x)=x/(x+1)不难看出x>1时,F'(x)>0,所以F(x)递增所以F(x)的最小值就是F(1)又F(1)=1-ln2>0所以F(x)横