作业帮a^n/n!极限等于0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 12:45:01
令,sn=a^n/n!=(a/1)*(a/2)*…*(a/[a])*(a/([a]+1))*…*(a/n)其中,[a]表示不大于a的整数因此,有：0
首先证明数列bn=a^n/n!在n充分大时单调有界显然在n>a时,bn单调减,且bn>0因此bn存在极限b利用limbn=b=limb(n+1)=limbn*a/n->0得到b=0
令函数f(x)=x/a^x,当x→+∞时,x和a^x都趋近于+∞,所以是∞/∞型,可以使用洛必达法则,即有：limf(x)=limx/a^x=lim1/(a^x*lna)=1/∞=0(x→+∞)而n/
因为a的绝对值＜1直观点就假设a=±0.000000001当n越大,n次方后小数点后的0就会越多于是a^n就越接近于0对于正负都是这样
将分子分分分成n项链乘,n=n1+n2,n1=[a]+1,则a的n1次方除以n1的阶乘是固定的,后面的乘项都<a/n1<1,后面的乘项趋于o
=lim[1-2a/n]^(-n/2a)*(-2a)=e^(-2a)
(a^n-a^-n)/（a^n+a^-n）=(1-a^-2n)/（1+a^-2n）如果a=1,则->0如果a>1,则->1如果a-1
|sinn/n-0|=|sinn|/n
令a=1+b(b>0)则a^n=(1+b)^n=二项式展开>n*(n-1)*b^2/2(n>2)当n>2时,n-1>n/2,此时a^n>n^2*b^2/4=n^2*(a-1)^2/4所以0
lim(n/a^n),(分子分母同时求导）=lim(1/a^n*lna)当n→+∞时,a^n→+∞所以,lim(1/a^n*lna)=0
是n/(a^n)吗?法1:这个式子的极限等于上下对n求导（罗比达定理）lim(n/(a^n))=1/((a^n)*lna),A小于1时显然不成立法2：以a为自变量观察,由检比法lima(n+1)/a(
ln(a^n)=nln(a)记ln（a）=tM为一大于a的常数ln(M)>tt-ln(M)
极限为0洛必达法则上下同时求导到分子没有n即可|q|0设f(x)=(1+x)^n,由泰勒公式可知,f(x)=(1+x)^n=f(0)+f'(0)x+f''(0)*x^2/2!+f'''(0)*x^3/
lim[n→+∝](1+a^n)^(1/n)=e^lim[n→+∝][ln(1+a^n)]/n=洛必达法则=e^lim[n→+∝](lna*a^n)/(1+a^n)=e^lim[n→+∝](lna)/
a^(1/n)-1=bnlna/n=ln(bn+1)n(a^(1/n)-1)=lna*bn/ln(bn+1)当n足够大时0
设a=1+h,则h>0为具体的常数a^n=（1+h）^n=1+nh+n*(n-1)h^2/2+……>n*(n-1)h^2/200
0/0型求导,洛必达法则分子分母同时求导,没学过的话无穷小的等价代换也可以
由于比值的极限是一个不等于0的常数,所以分子和分母是同阶无穷大,分子的阶数是10,那么分母的阶数也应该是10分母=n^k-(n-1)^k=-k*n^(k-1)+……（只用写一项）可见k-1=10,k=