如图,M是等边三角形ABC的边BC上一点,以AM为一边向外作等边三角形AMN

点D在BC中点时,四边形CDEF是平行四边形,且∠DEF=30°证明：∵设点D在BC中点∴AD是△ABC的中线∴AD平分∠BAC又∵△ABC是等边三角形∴∠BAD＝∠CAD＝1/2∠BAC＝30°∵C

,△ABC是等边三角形D是BC中点,∠ABF=∠CBF=∠BAD=∠CAD=30°AD⊥BCBF⊥AC∠ADE+∠CDE=90°∠CDE=30°==∠DBFBF‖DEBF=AD=DE四边形BDEF是平

过点D作DS∥BM,DT∥CN交BC于S、T,易证MDSB、NDTC都是平行四边形,∵M、N是中点∴MN=1/2BCMD+DN=1/2BCBS+TC=1/2BC∴ST=1/2BC∵△DST是等边三角形

∵△ABC是等边三角形又∵DEF是三边的中点∴DE是三角形的中位线根据中位线定理知DE=1/2AC同理其他两条边也有同样的性质.所以DE=EF=DF

证明：因为三角形ABC是等边三角形所以AB=AC=BC因为DE平行BCAB平行EF所以四边形ABCE是平行四边形所以AB=CEAE=BC因为AC平行DF所以四边形ADBC和四边形ABFC是平行四边形所

边长是2根号3

（1）是平行四边形.证明如下：∵D,E分别是BC,AC的中点,∴BF=AD,∠FBD=30°,∠ADB=90°,又∵△ADE是等边三角形,∴∠ADE=60°∴∠FBD+∠ADB+∠ADE=180°∴B

延长AB到点E,使BE=CN,连接DE∵∠DBE=∠DCN=90°DB=DC∴△DBE≌△DCN∴DE=DN∵易得：∠EDM=∠NDM=60°DM为公共边∴△DME≌△DMN∴MN=EM从而,有：MN

∵△ABC是等边三角形又∵DEF是三边的中点∴DE是三角形的中位线根据中位线定理知DE=1/2AC同理其他两条边也有同样的性质.所以DE=EF=DF

∵△ABC为等边三角形,且AD=BE=CF∴AF=BD=CE,又∵∠A=∠B=∠C=60°,∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）,∴DF=ED=EF,∴△DEF是一个等边三角形．再问：可以再具体些

∠BQM为定值．理由：如图①∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠C=60°,AB=BC∵BM=CN∴△ABM≌△BCN（SAS）∴∠BAM=∠CBN（全等三角形的对应角相等）,∴∠BQM=∠BAQ+

证明：∵△ABC是等边三角形∴∠EAF=∠EBD=60°,AB=BC=AC∵AD,BE,CF分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB∴AF=BF=二分之一AB,AF=二分之一AC,BD=二分之一BC∴AF

四边形BDEF是平行四边形,通过角度的计算结合全等可以得到S△ABC：S四边形BDEF=1：2

先证明△ABD≌△BCE因为AB=BC∠ABC=∠ACB=60°BD=CE所以AD=BE又等边△ADF所以AD=DF所以BE=DF因为△ABD≌△BCE所以∠BAD=∠CBE∠ADB=∠BEC∠C=∠

延长EM交AC于G,过F作FK∥EM,交BC于K得平行四边形ADMG,所以DM=AG,得平行四边形EMFK,所以ME=FK,在等边三角形MFG中,MF=FG,在等边三角形CFK中FK=FC所以MD+M

解题思路：过D作DM∥AB交BC于M，则△CDM为等边三角形，得CD=DM，而BE=CD，得到DM=BE，易证得△FDM≌△FEB，根据全等三角形的性质即可得到结论；解题过程：varSWOC={};S

∵三角形ABD和三角形ACE是等边三角形∴AD=ABAC=AE角DAB=角CAE=60°所以角DAC=角BAE在△DAC和△BAE中AD=AB角DAC=角BAEAC=AE△DAC≌△BAE（SAS）∴

∵△ABC是等边三角形,D是BC的中点∴∠ABC=60°,∠CAD=30°∵△ADE都是等边三角形∴∠DAE=60°∴∠CAE=60°-30°=30°

30或90