4n² 5n是一个完全平方数,求自然数n的取值.

2^50+4^1015+16^N=4^25+4^1015+4^2N=4^25[1+4^1000+4^(2N-25)]=4^25[1+4*4^999+4^(2N-25)]=4^25(1+2*4^999)

4^7+4^n+4^2007=(2^7)^2+(2^n)^2+(2^2004)^2要使上式是一个完全平方式,它必须符合a²+2ab+b²=(a+b)²的特征,所以令：a=

假设法,假设n^7＋1是完全平方数,＝n^a的平方,a属于正整数,则有n^7(n^(2a-7))=1.n属于正整数,所以a=4.则有n的八次方-n的七次方=1.无实数解,所以假设错误!

256=2^8=16^22^n+2^8=2^8(1+2^(n-8))所以要求1+2^(n-8)是完全平方数可得n-8=3,即n=11

2的50次方+4的1015次方+16的N次方=2的50次方+2的2030次方+2的4N次方=2的50次方+2×2的25次方×2的2024次方+2的4N次方2N=2024N=1012再问：有点错误吧，应

=4（4^2008+4^(n-1)+1）n-1=1004n=1005

设4n^2+5n=k^2,k是自然数.4n^2+5n-k^2=0作为n的一元二次方程有整数解,所以其判别式25+16k^2是完全平方数,即25+16k^2=m^2(m≥5是整数)所以(m-4k)(m+

勾三股四弦五n^2=3^2或4^2；（n+1)^2=4^2或3^2n=3或-4,n+1=4或-3正整数n=3再问：n

当n≥5时,1×2×…×n+3的个位数是3,不可能是完全平方数；当n＜5时,显然n=1,3时满足条件,所以n的值为1或3.

证明：原式=（n+1)(n+2)(n+3)(n+4)+1=（n+1))(n+4)(n+2)(n+3)+1=(n^2+5n+4)(n^2+5n+6)+1设n^2+5n=t,t式自然数∴原式=(t+4)(

求证:(n+2002)(n+2003)(n+2004)(n+2005)+1是一个完全平方数(n+2002)(n+2003)(n+2004)(n+2005)+1=(n+2002)(n+2005)*[(n

n^2+17=m^2即（m+n）（m-n）=17=1*17=17*1m-n=1m+n=17m=9n=8

n最大为132

完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²4^7+4^n+4^1998=(2^7)²+2×2^(2n-1)+(2^1998)²∵原式是一个完全平方

特别指出,本题只有2个解；本人给出另外一种解法：将式子整理为：n^4-4n³+22n²-36n+18=n²(n²-4n+4)+18n²-36n+18=

n-70=a²n+19=b²相减b²-a²=(b+a)(b-a)=8989是质数,所以89=89*1b+a=89b-a=1b=45n=n²-19=20

原式变形为：4^7+4^n+4^1998=(2^7)^2+(2^n)^2+(2^1998)^2要使上式是一个完全平方式,它必须符合a²+2ab+b²=(a+b)²的特征,

2^n+256=2^n+2^8=2^8[2^(n-8)+1]=16^2*[2^(n-8)+1]要使其为完全平方数,只要2^(n-8)+1为完全平方数,且n≥8而2^(n-8)+1为奇数,个位为1、3、

不可能吧!当n=1时,原式=1x2x3x4x5=120当n=2时,原式=2x3x4x5x6=720都不是完全平方数再问：没错，后来才发现，老师题目出错了。应为：n(n+1)(n+2)(n+3)+1还是

n+99和n+200是完全平方数，则（n+200）-（n+99）=101=2×50+1，∴n+99为50的平方，n+200为51的平方，∴n=2500-99=2401，故答案为2401．