三角形ABC中,AP是中线,MN是中位线,求证:AP与MN互相平分

延长AM交于BC边,交点为D.三边中线的交点是三角形的重心.重心有个性质在里面,AM：MD=2：1.是等腰三角形,那么AD是BC的高,BD=8,AB=17,算出来AD=15.所以,AM=10.懂了吗,

过B作BD‖PQ,过C作CE‖PQ,分别交直线AM于D、E则由∠BDM＝∠CEM,∠BMD＝∠CME,BM＝CM得△BDM≌△CEM（AAS）所以MD＝ME因为PQ‖BD,PQ‖CE所以AB/AP＝A

因为三角形ABC相似于三角形ADE,A为位似中心所以BC中点与DE中点的连线必过位似中心A位似图形中对应点的连线必过位似中心啊或者以A为原点AB,AC为xy轴建立仿射（斜）坐标系,然后求BC,DE方程

1:2过D点做DE平行于BN交AC于E做一条辅助线就行了啊

延长BN交AC于P`,过M做MD平行于AC,MD=AP`/2,MD=CP`,∴AP`:CP`=2:所以PP`是一个点BN:PN=BN:P`N,D是BP`中点,N是DP`中点,所以BN等于3PN

设AP中点为Q连接MQ.设三角形AMQ面积为2（2个单位）.因为AQ=QP,所以三角形MQP面积为2,因为N为MC中点,P为QC中点,所以NP为三角形MQC中位线,所以NP=1/2的MQ,因为NP//

延长AD到E,使DE=ADABD全等于CEDCE=3AE=4AC=5所以角AEC=90度DE=2CB=2CD=2倍的根号13

延长BP交AC于D,∵AP平分∠BAC,∴∠BAP=∠CAP,又∵∠BPA=∠DPA=90°可证△APB≌△APD,P为BD中点,AB=AD,又∵M为AC中点,∴PM=1/2DC=1/2(AC-AD)

因为：三角形ABC为等边三角形所以：角B=角C=角MAN=60度因为：MN为AP的中垂线,所以：AM=PM,AN=PN（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）在三角形MAN与三角形MPN中因为：AM=

三角形ABC中,BC的中点为D,BC边上的中线为AD=m,BD=CD=a/2,∠ADC=π-∠ADB,cos∠ADC=-cos∠ADB.由余弦定理m^2+a^2/4-b^2=macos∠ADC=-ma

1)取AB中点F,联结DF;DF平行于AC且D/F分别为各边中点,所以AC=2DF,要证AC=2AE,只需证AE=DF2)在三角形ADF和DAE中,AF=DE(中点平分),AD=DA,角DAFF=角E

1)取AB中点F,联结DF;DF平行于AC且D/F分别为各边中点,所以AC=2DF,要证AC=2AE,只需证AE=DF2)在三角形ADF和DAE中,AF=DE(中点平分),AD=DA,角DAFF=角E

过P作PF⊥AC,交AC于F过P作PE⊥BC,交BC延长线于E过P作PG⊥AB,交AB延长线于G因为AP平分∠GAC,所以PG=PF(角平分线上的点到角两边距离相等)因为CP平分∠ACE所以PF=PE

（1）连接DE.因为CE为三角形ABC的中线,AD垂直于BC所以DE＝AE＝BE,角B＝角BDE因为角B=二倍角BCE,角BDE＝角DEC+角BCE所以角DEC＝角DCE所以DC＝DE所以DC＝AE（

向量AB＋AC＝2AP,AC＝AB＋BC|AC|^2＝AC*AC＝(AB＋BC)*(AB＋BC)＝AB*AB＋2AB*BC＋BC*BC＝9＋2AB*BC＋BC*BC＝9＋(2AB＋BC)*BC＝9＋2

AM=1P在AM上,且满足AP=2PM,AM=AP+PM=AP+AP/2=3AP/2AP=2AM/3=2/3PA=-2/3在三角形ABC中M是BC的中点,PB+PC=2PM=AP=2/3

过A做AE平行于BC与CN的延长线交于E点由AE和BC平行有角EAM=MDC又角DMC=AME,AM=MD所以三角形AME和DMC全等得到AE=DC同样由AE和BC平行有三角形ANE和BNC相似AN:

倍长PM至Q,使MQ=PM,因M是BC中点,所以可证三角形BPM全等于三角形CQM,所以有BCQ=角CBN,所以PN//CQ,所以AP：PQ=AN：NC=2：1所以AP：2PM=2：1,所以AP：PM

三角形ABC中AP为BC边上的中线,∴向量AP=(AB+AC)/2,BC=AC-AB,∴AP*BC=(AC^2-AB^2)/2=-2,|AB|=3,∴AC^2=-4+9=5,∴|AC|=√5.